Question

若x1x2是关于x的方程 x^2-(2k+1)x+k^2+1=0 的两个实数根 且x1x2都大于1求

若x1 x2是关于x的方程 x^2-(2k+1)x+k^2+1=0 的两个实数根 且x1 x2都大于1
1. 求实数k的取值范围
2. 若x1/x2=1/2 求k的值

Answer 1

解：
令y=f(x)=x²-(2k+1)x+k²+1
y=f(x)=[x-(2k+1)/2]²+k²+1-(2k+1)²/4=[x-(2k+1)/2]²+(3-4k)/4
方程有两均大于1的实根，
（2k+1)/2>1 (3-4k)/4≤0 f(1)>0
(2k+1)/2>1
(2k-1)/2>0
k>1/2
(3-4k)/4≤0
3-4k≤0
k≥3/4
f(1)>0
-(2k+1)+k²+1>0，整理，得
k(k-2)>0
k>2或k<0
综上，得k>2
2.
由韦达定理，得
x1+x2=2k+1 (1)
x1x2=k²+1 (2)
x1/x2=1/2 x2=2x1分别代入，得
3x1=2k+1 x1=(2k+1)/3
2x1²=k²+1 x1=(2k+1)/3代入，整理，得
k²-8k+7=0
(k-1)(k-7)=0
k=1(<2，舍去)或k=7
k=7