Question

已知 如图，BE、CF分别是△ABC的边AC、AB上的高，BE与CF相交于点D。 求证：1.△ABC∽△AEF 2.如果∠A=60°

接上
如果∠A=60°，求S△AEF：S△ABC的值

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Answer 1

AG=AD，AG⊥AD，理由是：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°，∵∠FPB=∠EPC，∴∠ACG=∠ABD，在△ABD和△GCA中，AB＝CG∠ABD＝∠ACGBD＝AC。

求出∠ABD=∠AG，证△ABD≌△GCA，推出AG=AD，∠AGC=∠BAD，根据∠AFO=90°求出∠BAD+∠AOF=90°，推出∠AGC+∠AOF=90°，求出∠GAD=90°，即可得出答案。

Answer 2

因为角B=角C，BE=CF,BD=CE
三角形BED与三角形CEF全等，DE=EF，角FEC=角BDE，所以角DEF=180°-角DEB-角FEC=角B=70°

因为角DEF=70度，而DE=EF，所以DEF不可能是等腰直角三角形，否则不满足斜边大于直角边的条件

（弱弱的问下，为啥要BD=ED,CE=CF啊？）

Answer 3

这个题关键是辅助线的应用

过C点作CM‖AB，交ED于M。

因为CM‖AB，所以CM:BE＝CD:BD

因为AE＝AF，所以∠AEF＝∠AFE。又因为CM‖AB，所以∠AEF＝∠CMF。又因为∠AFE＝∠CFM，所以∠CFM＝∠CMF。进一步得出，CM＝CF

所以CF:BE＝CD:BD

Answer 4

　　解：（1）∵AB⊥CF，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACF，
∴AE/AF=AB/AC，
∴AE/AB=AF/AC，
∴△ABC∽△AEF；

　　(2)在Rt△ABE中，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE=30°，
∴AE/AB=1/2，
∴S△AEF/S△ABC=1/4．

Answer 5

等于1