Question

在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE垂直AB于点E，PF垂直DC于点F，BG垂直CD于点G...

在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AB=DC，点P为BC边上一点，PE垂直AB于点E，PF垂直DC于点F，BG垂直CD于点G。求证:PE+PF=BG。

Answer 1

过P作CD的平行线交BG于Q、交AB于H
∵ ∠BQP=∠PEB=90°, ∠BPQ=∠PBQ
∴ △BPQ≌△PBE, 有：BQ=PE，
又BG平行于PF，有GQ=PF，
所以 PE+PF=BQ+GQ=BG

Answer 2

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD，（1分）
∴∠BPH=∠C，（1分）
在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH，（1分）
∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）（2分）
∴PE=BH，（1分）
∴PE+PF=BH+HG=BG．（1分）