Question

如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于点F，延长CE到G，使CG=AB。若∠BCE=45°

如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD与CE相交于点F，延长CE到G，使CG=AB。若∠BCE=45°，求证：点F，G关于AB对称

Answer 1

把AG连起来
连AF延长到BC上相交于H
因为三心重叠，所以AH垂直BC
因为角B是45度，所以BE=CE
再因为AB=CG，所以EG=EA
所以角EAG=45度
因为角CBA=45度，所以角BAH=45度
由上，角BAH=角EAG，即，AF=AG，FE=EG
故，可以得出结论：F和G点相对AB对称

Answer 2

过A作AM⊥BC
因为BD⊥AC,CE⊥AB
所以AM、BD、CE交于F点

因为CE⊥AB，∠BCE=45°
所以∠CBE=45°∠MFC=45°
所以EB=CE

因为AB=CG
所以GE=CG-EC=AB-EB=AE

因为∠MFC=45°
所以∠AFE=45°
又CE⊥AB
所以EF=AE=GE

因为EF=GE 且GF⊥AB
所以F、G关于AB对称 .

Answer 3

连结AF,延长AF交BC于H,则AH⊥BC
∵∠BCE=45º, ∴∠ABC=∠BAH=∠BCE=45º, BE=CE
∵AB=CG===>AB-BE=CG-CE===>AE=GE===>∠G=∠GAE=45º
∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BAC=90º===>∠ABD=∠ACE
∴△ABF≌△GCA===>AG=AF
∴Rt△AEG≌Rt△AEF===>GE=FE
∴F、G关于AB对称

Answer 4

连结AF,延长AF交BC于H,则AH⊥BC
∵∠BCE=45º, ∴∠ABC=∠BAH=∠BCE=45º, BE=CE
∵AB=CG===>AB-BE=CG-CE===>AE=GE===>∠G=∠GAE=45º
∵∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BAC=90º===>∠ABD=∠ACE
∴△ABF≌△GCA===>AG=AF
∴Rt△AEG≌Rt△AEF===>GE=FE
∴F、G关于AB对称