Question

高中数学 二次函数问题

对一切实数，不等式 x²+a|x|+1≥0 恒成立，则实数a的取值范围是?

求解题过程！！谢谢帮助！！！

Answer 1

x²+a|x|+1≥0
设f(x)=x²+aIxI+1≥0
为开口向上的抛物线，
要使上式恒成立
只需最小值大于等于0
1. x<0时,f(x)=x²-ax+1 对称轴x=a/2
f(x)最小=f(a/2)=(a/2)²-a*(a/2)+1≥0
-a²+4≥0
解得-2≤a≤2
2. x≥0时 f(x)=x²+ax+1对称轴x=-a/2
f(x)最小=f(-a/2)=(-a/2)²+a*(-a/2)+1≥0
-a²+4≥0
解得-2≤a≤2
综上：-2≤a≤2

Answer 2

解：据已知可得a≥-|x|- 1|x|=- (|x|+|1x|)，
据均值不等式|x|+ 1|x|≥2⇒- (|x|+|1x|)≤-2，
故若使原不等式恒成立，只需a≥-2即可

Answer 3

解：x²+a|x|+1≥0可化为|x|²+a|x|+1≥0
所以　有a²-4<=0 所以 -2 <=a<=2

Answer 4

x²+a|x|+1≥0
|x|²+a|x|+1≥0
|x|+a+1/|x|≥0
|x|+1/|x|≥-a
又：|x|+1/|x| = (√|x|-1/√|x| ) ^2 + 2 ≥2
∴-a≤2
∴a≥-2