Question

利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性。 要具体过程哦！

Answer 1

题目应该是：利用定义判断：f(x)=x+√(x²+1)在R上的单调性？？？
解：f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.
给出证明如下：
设x1， x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=[ x1+√(x1²+1)]-[ x2+√(x2²+1)]
=(x1-x2)+( √(x1²+1)-√(x2²+1))
=(x1-x2)+ (x2²-x1²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
=(x1-x2)[1-(x2+x1)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
=(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
∵√(x1²+1)> √(x1²)=|x1|≥x1，
∴√(x1²+1)-x1>0，同理，√(x2²+1)-x2>0，
又x1<x2，x1-x2<0
∴(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]<0
即f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.

如果题目是：利用定义判断：f(x)=x²+√(x²+1)在R上的单调性.
解：f(x)=x²+√(x²+1)在（－∞，0 ]上为减函数，在（0＋，∞）上为增函数.
下面给出证明：
设x1， x2∈R，且x1<x2，
则f(x1)-f(x2)=[ x1²+√(x1²+1)]-[ x2²+√(x2²+1)]
=(x1²-x2²)+( √(x1²+1)-√(x2²+1))
=(x1²-x2²)+ (x2²-x1²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
=(x1²-x2²)[1-1/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
=(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
∵√(x1²+1) ≥1，√(x1²+1) ≥1，
∴√(x1²+1)+√(x2²+1)]]-1>0
又x1<x2，x1-x2<0
∴当x1<x2≤0时，x1+x2<0，
(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]>0
即f(x1)-f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)；
当0<x1<x2时，x1+x2>0，
(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]<0
即f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)；
∴f(x)=x²+√(x²+1)在（－∞，0 ]上为减函数，在（0＋，∞）上为增函数.

好辛苦，望采纳。

Answer 2

若 p＞q，则 f(p)-f(q)=[p+√(1+p^2)]-[q+√(1+q^2)]
=(p-q)+[√(1+p^2)-√(1+q^2)]
=(p-q)+(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+√(1+q^2)]+(p+q)】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+p]+[√(1+q^2)+q]】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
＞0.
所以函数函数 f(x)=x+√(1+x^2) 在(-∞,+∞)单调增加。

【注】以上证明最关键之处为：
①分子有理化 √(1+p^2)-√(1+q^2)=(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)]；
②无论 x 取正取负，都有√(1+x^2)+x≥√(1+x^2)-|x|＞|x|-|x|=0。