Question

判断并证明y=x/x^+1在（0，+∞）上的单调性

Answer 1

y = x/x^2+1 = 1/(x+1/x)
分母x+1/x为对勾函数：
x＜-1时x+1/x单调增，y = 1/(x+1/x)单调减；
-1＜x＜0时x+1/x单调减，y = 1/(x+1/x)单调增；
0＜x＜1时x+1/x单调减，y = 1/(x+1/x)单调增；
x＞1时x+1/x单调增，y = 1/(x+1/x)单调减。
x∈R，∴y = 1/(x+1/x)单调减区间（-∞，-1）U（1，+∞），单调增区间（-1，1）

证明：
（一）x∈（-∞，-1），令x1＜x2＜-1
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵x1＜x2＜-1
∴x2-x1＞0，1-x1x2＜0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＜0，
∴x∈（-∞，-1）时单调减。

（二）x∈（-1，1），令-1＜x1＜x2＜1
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x2-x1＞0，1-x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＞0，
∴x∈（-1，1）时单调增。

（三）x∈（1，∞1），令1＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = x2/(x2^2+1)-x1/(x1^2+1)
= (x1^2x2+x2-x1x2^2-x1)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
= (x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}
∵1＜x1＜x2
∴x2-x1＞0，1-x1x2＜0
∴f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-x1x2)/{(x2^2+1)(x1^2+1)}＜0，
∴x∈（1，+∞）时单调减。