Question

已知函数 f(x)= 1 x+1 ，点A n 为函数f（x）图象上横坐标为n（n∈N * ）的点，O为坐标原点，

已知函数 f(x)= 1 x+1 ，点A n 为函数f（x）图象上横坐标为n（n∈N * ）的点，O为坐标原点，向量 e =(1 ， 0) ．记θ n 为向量 O A n 与 e 的夹角，则 lim n→∞ (tan θ 1 +tan θ 2 +…+tan θ n ) =______．

Answer 1

因为 e =(1 ， 0) ，θ n 为向量 O A n 与 e 的夹角 ∴θ n 为直线OA n 的倾斜角， ∵tanQ n 为直线OA n 的斜率，A n （n， 1 n+1 ） ∴tanQ n = 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ∴ lim n→∞ (tan θ 1 +tan θ 2 +…+tan θ n ) = lim n→∞ (1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 ) = lim n→∞ (1- 1 n+1 ) =1 故答案为：1