Question

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．（1）求a、b的值．（2）若不等式

已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．（1）求a、b的值．（2）若不等式g(x)x-k≥0在x∈[1，2]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）g（x）=ax²-2ax+1+b=a（x-1）²+1+b-a，
∵a＞0，
∴g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上递增，
∴

g(2)＝1 g(3)＝4

，解得

a＝1 b＝0

；
（2）由（1）知，不等式

g(x)

x

-k≥0可化简为k≤x+

1

x

-2，
令h（x）=x+

1

x

-2，
由双钩函数的性质可得，h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）=x+

1

x

-2在x=2时取得最大值

1

2

，
∴k≤

1

2

．