Question

已知，圆C：x 2 +y 2 -8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆

已知，圆C：x 2 +y 2 -8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且 AB=2 2 时，求直线l的方程．

Answer 1

将圆C的方程x 2 +y 2 -8y+12=0配方得标准方程为x 2 +（y-4） 2 =4， 则此圆的圆心为（0，4），半径为2． （1）若直线l与圆C相切，则有 |4+2a| a 2 +1 =2 ．解得 a=- 3 4 ． （2）联立方程 ax+y+2a=0 x 2 + y 2 -8y+12=0 并消去y， 得（a 2 +1）x 2 +4（a 2 +2）x+4（a 2 +4a+3）=0． 设此方程的两根分别为x 1 、x 2 ， 所以x 1 +x 2 =- 4( a 2 +2) a 2 +1 ，x 1 x 2 = 4( a 2 +4a+3) a 2 +1 则AB= (  x 1 - x 2 )   2 + ( y 1 - y 2 )  2 = ( a 2 +1)[ ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] =2 2 两边平方并代入解得：a=-7或a=-1， ∴直线l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0．