Question

已知a是实数，函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3，（1）求a值及曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程

已知a是实数，函数f(x)=x²(x-a).若f′(1)=3，（1）求a值及曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[0，2]上的最大值。
求详细过程，O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

（I）求出f'（x），利用f'（1）=3得到a的值，然后把a代入f（x）中求出f（1）得到切点，而切线的斜率等于f'（1）=3，写出切线方程即可；
（II）令f'（x）=0求出x的值，利用x的值分三个区间讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．
解：（I）f'（x）=3x2-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得 x1=0，x2=2a/3．
当 2a/3≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmax=f（2）=8-4a．
当 2a/3≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmax=f（0）=0．
当 0＜2a/3＜2，即0＜a＜3，f（x）在 [0，2a/3]上单调递减，在 [2a/3，2]上单调递增，从而 fmax={8-4a，0＜a≤2.
0，2＜a＜3.
综上所述， fmax={8-4a，a≤2
.0，a＞2.

Answer 2

解：
(1)
∵f(x)=x^2(x-a)=x^3-ax^2
∴f’(x)=3x^2-2ax
∵f’(1)=3
∴3-2a=3
∴a=0
∴f(x)=x^3，f’(x)=3x^2
∴f(1)=1
∴切线方程就是y-1=3(x-1)，即y=3x-2.
(2)
∵f’(x)=3x^2≥0
∴f(x)在[0，2]上单调递增
∴最大值为f(2)=8.

Answer 3

为什么8-4a在0＜a≤2范围里