Question

1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）如何证明？

1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）如何证明？

我只知道1/2+1/3+……+1/n是没有求和公式的，那要怎么证明它小于lnn呢？

另，必须用高中的知识哦！

Answer 1

本题其实难在两个不等式的放缩，和一些简单的极限基本知识。

（1）首先你必须知道以下事实：
1.e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
2.f(x)=lnx，是以e为底的对数，叫自然对数。

（2）然后让我们用初等数学来证明两个解本题的基本结论
1.数列ax=(1+1/x)^x是单调递增的，且其最大值即e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
证明：即证[1+1/(x)]^x<[1+1/(x+1)]^(x+1) x是正整数
1+1/(x+1)=1/x+1/x+...+1/x+1>(x+1)个(x+1)次根号下[(1/x)^x*1/(x+1)]
[然后将x+1放到根号中去]
=(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
1+1/(x+1)>(x+1)次根号下[(x+1/x)^x]
(1+1/(x+1))^(x+1)>(x+1/x)^x 而e=lim(x→+∞)(1+1/x)^x
所以(1+1/x)^x<e
2.数列ax=[1+1/(x-1)]^x是单调递减的，且其最小值即e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
证明：即证(1+1/x)^(x+1)<[1+1/(x-1)]^x
(1+1/x)^(x+1)=(1+2/x+1/x^2)*(1+1/x)*(1+1/x)*(1+1/x)...[x-1个(1+1/x)]<{[(1+1/x)(x-1)+1+2/x+1/x^2]/x}^x [均值不等式]
=(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x
而1+1/(x-1)=x/(x-1)=1/(1-1/x)=1+1/x+1/x^2+1/x^3+1/x^4...1/x^n(n=∞)
所以1+1/(x-1)>1+1/x+1/x^2+1/x^3
所以(1+1/x)^(x+1)<(1+1/x+1/x^2+1/x^3)^x<[1+1/(x-1)]^x
而e=lim(x→+∞)[1+1/(x-1)]^x
所以e<[1+1/(x-1)]^x
其实，1.还可以用二项式定理证明，不过我不大记得了，你可以试试看。

(3)最后用数学归纳法证明此不等式1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
1.当n=2时，1/2<ln2<1+1/2
2.假定当n=k-1时，假定1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
3.一方面,lnk-ln(k-1)=ln(k/k-1)=ln(1+1/k-1),e<[1+1/(k-1)]^k
两边取对手数，ln(1+1/k-1)>1/k,而1/2+1/3+……+1/k-1<ln（k-1）
所以1/2+1/3+……+1/k<ln（k-1）+ln(1+1/k-1)=lnk
另一方面(1+1/x)^x<e，也即(1+1/k-1)^k-1<e
两边取对手数，ln(1+1/k-1)<1/(k-1),而ln（k-1）<1+1/2+……+1/（k-2）
所以ln(k-1)+ln(1+1/k-1)=lnk<1+1/2+……+1/（k-1）
所以当n=k时，不等式成立。

综上，1/2+1/3+……+1/n<lnn<1+1/2+……+1/（n-1）
实际上1+1/2+1/3...+1/n当n趋向于无穷大时，等于lnn，是发散的。

Answer 2

41

Answer 3

用第一数学归纳法