Question

如图,已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,BC=AC,E、F分别在Rt△ABC的直角边AC、BC上滑动，AE=CF （1）求证：△DEF

1）求证：△DEF∽△CAB
（2）求CE/AE为何值时，可使得S△DEF：S△CAB=5:18成立

Answer 1

7年没碰过数学了，好好想了想，也算想通了。
第一问：连接CD，证明△CDF≌△ADE全等。AE=CF,∠A=∠BCD（这个不用我说把），CD=AD这个都是直角等腰三角形的特点。证明结束了。就知道DE=DF。∠ADE=∠FDC，全等三角形边和角对应相等。
由于∠CDA=90°，∠ADE=∠FDC，因此∠FDE为直角，因此△DEF为等腰直角三角形。所以：△DEF∽△CAB

第二问：设：CE=X，AE=βX，AE=CF，根据直角三角形，EF=根号下X²+(βX)²，这样的话就能求出DE=DF=sin45°根号X²+(βX)² 这样Rt△DEF面积就出来了。 而Rt△ABC面积=½AC*BC AC=X+βX。一比就出来了，自己算吧。

真不容易啊，数学符号真难打，根号我打不出来，你能理解的，我也有7年没碰过数学了。竟然还知道啊。希望对你有帮助吧。

Answer 2

（1）由AC=BC，∠ACB=90°，
D是AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD。
∵AE=CF，∠A=∠DCF=90°，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE=DF，
又∠FDC=∠EDA，∴∠FDE=∠CDA=90°，
即△DEF也是等腰直角三角形，
∴△DEF∽△CAB。
（2）设CA=6，CE=x，AE=6-x，
S△DEF=S△ABC-S△ADE-S△CEF-S△DBF
=6²×1/2-3（6-x）×1/2-x（6-x）×1/2-3x×1/2
=18-9+（3/2）x-3x+（1/2）x²-（3/2）x
=（1/2）x²-3x+9
S△DEF：S△CAB=5:18
[（1/2）x²-3x+9]：18=5:18，
∴（1/2）x²-3x+9=5
x²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
∴x1=2,x2=4.
CE:AE=2:4=1:2
CE:AE=4:2=2:1.