Question

求解微分方程： y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 需详细过程 另附上此类方程的通解公式 好的加分

Answer 1

特征方程 x^2+1=0解得 x=i 和x=-i
通解 c1*e^ix+c2e^(-ix)+c=c1sinx+c2cosx+c
代入y"+y+1得到 c=1

y(0)=c1*sin(0)+c2*cos(0)+1=c2+1=0
c2=-1
y'(0)=c1*cos(0)-c2*sin(0)=c1=0
c1=0

解y=1-cosx

二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步：求特征根：
令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）

第二步：通解：
若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解：
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1，C2是任意常数