Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°。过点C作圆的切线L与直径AD的延长线交与点E,AF⊥L，AF⊥L，垂足为F，CG

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°。过点C作圆的切线L与直径AD的延长线交与点E,AF⊥L，AF⊥L，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G
若AF=4根号3，求图中阴影部分的面积。谢谢…………

Answer 1

解：连结oc（阴影部分的面积等于三角形CEO的面积减去扇形CDO的面积）

因为 ∠B=60° 所以∠AOC=120° 所以∠COE=60°

因为 △AFE 与 △CGE相似 所以 ∠CEO=30°,AC=CE, CE/AE = CG/AF = CA/AE =1/√3;

所以 CG = 4 OC = 8/3*√3 CE= 8 ;三角形CEO的面积 = 1/2*OC*CE = 32/3 * √3

扇形CDO的面积 = π*CO^2/6 =32/9*π

阴影部分的面积=三角形CEO的面积-扇形CDO的面积 = 32/3*√3 - 32/9*π

= (96√3-32π)/9

祝学习愉快！！.

Answer 2

设圆的半径为r
连接OC，则OC⊥L，即OC∥AF
∵∠B=60°
∴∠AOC=120° (同弧所对圆心角是圆周角的两倍)
∴∠COE=60°，∠E=30°
∴OE=2OC=2r
∴AE=OE+OA=3r
∵OC∥AF
∴△OCE∽△AFE
∴OC/AF=OE/AE=2/3
∴OC=(2/3)AF=8√3/3，即r=8√3/3
∴OE=16√3/3
∴CE=√(OE²-OC²)=8
∴S△OCE=OC·CE/2=32√3/3
S扇形OCD = S圆/6 = πr²/6 = 32π/9
∴S阴影=S△OCE - S扇形OCD=32√3/3 - 32π/9 =(96√3 - 32π)/9

Answer 3

阴影部分的面积=32/9*(√3-π/3)≈2.435

Answer 4

连接OC
因为∠FCA+∠ACO=90
∠ACO=∠CAO
∠FCA+∠FAC=90
所以∠FAC=∠CAO
所以三角形ACF≡△ACG（AAS）