Question

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D

(1)求证：CD为圆O的切线；（2）若DC+DA=6，圆O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

连结PO，做CQ⊥AE，OP⊥DB
易证△ADC≌△AQC，△AQC∽△CAE，设AQ=x，由射影定理得（6-x)^2=x（5+x)
解得x1=2,x2=9(过大，舍去）
∴AD=AQ=2
角DAC=角CAQ，又∵OA=OC，∴角CAQ也=角ACO （角的好像符号打不出）
∴角DAC=角ACO，∴DP∥CO，易证CD∥PO，∴CDPO是平行四边形，∴CO=DP
∵直径10，所以CO=5即DP=5，又因为AD=2
∴AP=3
垂径定理得AB=6

Answer 2

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 3

连结PO，做CQ⊥AE，OP⊥DB
易证△ADC≌△AQC，△AQC∽△CAE，设AQ=x，由射影定理得（6-x)^2=x（5+x)
解得x1=2,x2=9(过大，舍去）
∴AD=AQ=2
角DAC=角CAQ，又∵OA=OC，∴角CAQ也=角ACO （角的好像符号打不出）
∴角DAC=角ACO，∴DP∥CO，易证CD∥PO，∴CDPO是平行四边形，∴CO=DP
∵直径10，所以CO=5即DP=5，又因为AD=2
∴AP=3
垂径定理得AB=6