Question

如图，已知直线PA交圆O于A，B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且AC平分角PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D

(1)求证：CD为圆O的切线；（2）若DC+DA=6，圆O的直径为10，求AB的长度。

Answer 1

（1）连接OC．

∵点C在⊙O上，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO．

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°．

又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，

∴CD为⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，

∴OC=FD，OF=CD．

∵DC+DA=6，

设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，

∴DF=OC=5，

∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2．

即（5-x）^2+（6-x）^2=25，

化简得x^2-11x+18=0，

解得x=2或x=9．

∵CD=6-x＞0，故x=9舍去，

∴x=2，

∴AD=2，AF=5-2=3，

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，

∴AB=2AF=6

Answer 2

图略。连接BC,OC 因为AE为直径，则角ACB未直角 又因为AC平分角PAE CD⊥PA
所以角ABC=角DCA 角OCB+OCA=90度，那么角OCD为90度，且OC为半径，所以CD为圆O的切线
（2） 连接CO，过点A作AF垂直于OC于F,设AD=x，则DC=6-x由勾股定理得到(6-x)^2+(5-x)^2=5^2 求得x=9(舍去) x=2 则CD=6-2=4 连接BC 从而求得三角形CDB相似于三角形CDA
有对应边的比 CD/DB(DA+AB)=DA/CD 即：4/（2+AB）=2/4 从而求得AB=6
请按我叙述的步骤连接一下线段，仔细看看连好的图会更清楚一些。谢谢，抱歉

Answer 3

连结PO，做CQ⊥AE，OP⊥DB
易证△ADC≌△AQC，△AQC∽△CAE，设AQ=x，由射影定理得（6-x)^2=x（5+x)
解得x1=2,x2=9(过大，舍去）
∴AD=AQ=2
角DAC=角CAQ，又∵OA=OC，∴角CAQ也=角ACO （角的好像符号打不出）
∴角DAC=角ACO，∴DP∥CO，易证CD∥PO，∴CDPO是平行四边形，∴CO=DP
∵直径10，所以CO=5即DP=5，又因为AD=2
∴AP=3
垂径定理得AB=6

Answer 4

（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 5

过点O作OF⊥AB
∵∠OFD=∠CDF=∠OCD=90°
∴四边形OFDC为矩形
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF^2+OF^2=OA^2．
即（5-x）^2+（6-x）^2=25，

得x=2或x=9（舍去）．
∴AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6