Question

已知θ为锐角，用三角函数定义证明：1＜sinθ+cosθ≤√2

Answer 1

你好！

由定义知sinθ=y / r =y cosθ=x/r=x
x²+y²=r²=1
又θ为锐角，所以0<x，y<1
sinθ+cosθ=y+x =√(y+x)^2 =√(y²+2xy+y²)=√(1+2xy) >1
x²+y²-2xy=(x-y)²≥0
2xy≤ x²+y²=1
sinθ+cosθ=√(1+2xy) ≤√2
综上，1＜sinθ+cosθ≤√2

Answer 2

sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
∵0＜θ＜π/2
∴π/4＜θ+π/4＜3π/4
√2 /2＜sin(θ+π/4)≤1
∴1＜√2sin(θ+π/4)≤√2
即：1＜sinθ+cosθ≤√2

追问

sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)
怎么来得

追答

Sinθ+Cosθ乘以二分之根号2，变成sin(θ+四分之派)×根号二，因为θ是锐角，θ+四分之派大于45度，小于135度，sin(θ+四分之派)大于二分之根二，小于1。