Question

在y=2x²上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点p的坐标是？算得错了，帮忙算

求具体过程，谢谢！

Answer 1

解：把抛物线的解析式y = 2x² 变为 x² = (1/2)y，

与标准形式 x² = 2py 对照，易知：
2p = 1/2。
∴ p = 1/4。
∴抛物线x² = (1/2)y 的准线方程为L：y = -- p/2 = -- 1/8。

说明：对于抛物线 x² = 2py(p ＞0) ，
其焦点为F(0，p/2)，其准线方程为L：y = -- p/2。

由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离。
∴ 点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离。

分析点A与已知抛物线y=2x² 的位置关系：
在y=2x²中，当x = 1 时，y = 2，
而点A（1，3），
∴ 点A在抛物线内。

过点A作准线的垂线，垂足为B，
设线段AB与抛物线及 x轴 分别交于点M、点N，
∵AB ⊥准线 y = -- 1/8，而点A的纵坐标为3，
∴AN = 3 且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1。
把 x=1代入y=2x² 得 y=2，
∴点M的纵坐标为2。
∴点M的坐标为(1，2)。

下面分析“距离之和最小”问题：
在抛物线y=2x²上任取一点P，
过P作准线的垂线，垂足为Q，
过P作AB的垂线，垂足为H，
在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则 |PA| ＞ |AH|。
在矩形PQBH中，|PQ| = |HB|，

∴ |PA| + |PF|（这里设抛物线的焦点为F）
＝|PA| + |PQ|
＞|AH| + |HB| = |AB|。

即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|。
此时点P与点M重合，其坐标为P(1，2)。

如果直接说“过A作准线的垂线 垂足为B，
则当P是AB与抛物线的交点时，距离和最小”不易理解。

祝您学习顺利！