Question

已知函数.当时,求函数的单调区间;若函数在上是减函数,求实数的取值范围.

已知函数. 当时,求函数的单调区间; 若函数在上是减函数,求实数的取值范围.

Answer 1

当时,我们易得到函数的解析式,进而求出函数的导函数,列表讨论导函数的符号,即可得到函数的单调区间;若函数在上是减函数,则在上恒成立,由此转化为函数恒成立问题,并转化为的不等式,解不等式即可得到实数的取值范围.
解:函数的定义域为.当时,.(分)当变化时,,的变化情况如下:-极小值由上表可知,函数的单调递减区间是;单调递增区间是.极小值是.(分)由,得.又函数为上单调减函数,则在上恒成立,所以不等式在上恒成立.即在上恒成立.(分)又在为减函数,所以的最小值为.所以.(分)
本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,函数的单调性与导数的关系,其中根据原函数的解析式,求出导函数的解析式是解答本题的关键.