Question

如果a>2,证明：log(a-1)a>loga(a+1)

Answer 1

证：
a>2 a-1>1 a+1>1
loga(a-1)>0 loga(a+1)>0
loga(a-1)<loga(a+1)

由均值不等式，得
loga(a-1)loga(a+1)<[loga(a-1)+loga(a+1)]^2/4
=loga[(a-1)(a+1)]^2/4
=loga(a^4)/4
=4/4
=1
因此loga(a-1)loga(a+1)<1

Answer 2

把两边的式子写成同底相除的形式，再一移相就行了

Answer 3

换底公式， log(a-1)a=lna/ln(a-1) loga(a+1)=ln(a+1)/lna
由对数性质知，a>2时，函数为斜率逐渐减小的增函数，因此，lna/ln(a-1)> ln(a+1)/lna
建议楼主做出函数图象，取 ln(a-1),lna,ln(a+1) ，一目了然

Answer 4

因为
loga(a-1)*loga(a+1)
<[loga(a-1)+loga(a+1)]²/4 (均值不等式)
=[loga(a-1)(a+1)]²/4 （平方差）
<[loga(a²)]²/4
=1
且loga(a-1)*log(a-1)a=1(换底公式）
所以log(a-1)a>loga(a+1)