Question

设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则根号p是无理数

Answer 1

反证：设√p=a/b,a,b是正整数且ab互质。

p=a^2/b^2

p*b^2=a^2

a和b互质所以a是p的倍数设a=pm。

p*b^2 = p^2m^2

b^2 = pm^2

因为m与b素质,所以b^2是p的倍数。

所以ab有公因数p,矛盾。

根号p是无理数。

找规律的方法：

找规律填数字，或者说图形找规律，开始大家都是通过一些对比发现其中的规律，可能有些数列三个数就有“规律”出现，不过并不能确定也只能算是猜。一般需要三个以上，包括前后结合对照才能确认规律。

不论是数列找规律还是图形找规律，都需要比较敏锐的观察力。尤其是一些规律藏得较深，需要胆大心细才能发现。最后在填完之后，需要前后结合检验所找的规律是否正确，以免徒劳无功。

Answer 2

反证法：假设√p是有理数，则p是有理数，
又p不是完全平方数，所以p是分数（有理数分为整数和分数）。
这与p为正整数矛盾。
所以假设不成立。
故若p不是完全平方数，则根号p是无理数

Answer 3

p为正整数,证明若p不是完全平方数则根号p为无理数
假设根号p是有理数，则
存在互素的正整数m和n使得
根号p=m/n
所以p=m^2/n^2
所以m^2=p*n^2
所以m必为p的倍数
设m=pk
则p^2k^2=p*n^2
p*k^2=n^2
所以n也必是p的倍数，矛盾