Question

求助一道高数证明题，各位同学帮帮忙啊！ 设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足 f（x+y

上面有误。
设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足
f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y），
g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），且f'（0）=0.
求证：f（x）^2+g（x）^2=1。
(即两个函数的平方和等于1)

Answer 1

题目不完整啊！

追问

上面有误。
设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足
f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y），
g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），且f'（x）=0.
求证：f（x）^2+g（x）^2=1。
(即两个函数的平方和等于1)

追答

条件有错吧？我觉得应该是“且f'（0）=0”

追问

是f'（0）=0

追答

因为f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y），
g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），所以令x=y=0，得f（0）=f²（0）-g²（0），g（0）=2f（0）g（0）解得f（0）=0，g（0）=0或f（0）=1，g（0）。倘若f（0）=0，g（0）=0，则有g（x）=f（x）g（0）+g（x）f（0）=0，与已知矛盾。故f（0）=1，g（0）。（f（x+△x）-f（x））/△x=（f（x）f（△x）-g（x）g（△x）-f（0）f（x）+g（0）g（△x））/△x=f（x）（f（△x）-f（0））/△x-g（x）（g（△x）-g（0））/△x，所以f'（x）=lim（f（x+△x）-f（x））/△x=-g(0)g'(0)。用同样的方法，可得g'(x)=f(x)g'(0)。令F（x）=f（x）^2+g（x）^2，则F'(x）=2f（x）f'(x)+2g(x)g'(x)=0，所以F(x)恒为常数，又因为f（0）=1，g（0）=0，所以F（x）=1，即f（x）^2+g（x）^2=1

Answer 2

题没完，无法无法完成

追问

上面有误。
设f（x），g（x）是定义在R上的两个非零可微函数，且满足
f（x+y）=f（x）f（y）-g（x）g（y），
g（x+y）=f（x）g（y）+g（x）f（y），且f'（x）=0.
求证：f（x）^2+g（x）^2=1。
(即两个函数的平方和等于1)

Answer 3

奇函数

Answer 4

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