Question

已知函数f(x)=㏒a（x+1），g(x）=㏒a（1-x）（a﹥0，≠1）令F（x）=f(x)-g(x)

证明F（x）+F(Y)=F(x+y/1+xy)

Answer 1

证明：因为 F（x）=f(x)-g(x)
=㏒a（x+1）-㏒a（1-x）
=㏒a[（x+1）/（1-x）]
F（x)的定义域为 （x+1）/（1-x）>0
解得 -1<x<1
所以 F（x）= ㏒a[（x+1）/（1-x）] （ -1<x<1）
等式左边 F（x）+F(Y)=㏒a[（X+1）/（1-X）] + ㏒a[（Y+1）/（1-Y）]
= ㏒a[（X+1)（Y+1）/（1-X）（1-Y）]
= ㏒a(X+Y+XY+1/1+XY-X-Y)
等式右边 F(X+Y/1+XY)=㏒a[(X+Y/1+XY)+1/1-(X+Y/1+XY)]
= ㏒a(X+Y+XY+1/1+XY-X-Y)
有上述两式可知 F（x）+F(Y)= F(X+Y/1+XY)
原式得证