Question

利用三角函数线证明当α∈(0,π/2)时，sinα<α<tanα 你说的那图在哪？？

Answer 1

知识：用单位圆中的三角函数线。

方法：将sinα、α、tanα转化为单位圆中的线段或弧线。

过程：如图，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，AT是切线。

则有sinα=MP/OP=MP，tanα=AT/OA=AT          (注：单位圆的半径为1 ）

α=弧AP/r=弧AP       (注：弧长与半径的比等于圆心角的弧度数的绝对值。r=1为半径）

（1）易知 MP<弦AP<弧AP  ，所以  sinα<α

（2）S扇形OAP= 弧AP•r/2=弧AP/2=α/2，

     S⊿OAT=OA•AT/2=AT/2=(tanα)/2

因为 S扇形OAP < S⊿OAT ，所以α/2<(tanα)/2，

即α<tanα

从而，当α为锐角时，有 sinα<α<tanα