Question

定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足①x>1时,f(x)>0②对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)求证

(1)若当x>1时，f(x)>0,则当0<x<1时，f(x)<0
(2)f(x)在(0,﹢∞)上是增函数
(3)f(x^n)=nf(x),n∈N*

Answer 1

在f(xy)=f(x)+f(y)中令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)
从而f(1)=0
(1)当0<x<1时，1/x>1，所以 f(1/x)>0 且
0=f(1)= f[x•(1/x)]=f(x)+f(1/x)
从而f(x)=-f(1/x)<0
(2)设0<x1<x2，在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=x2/x1>1，y=x1，则xy=x2
于是
f(x2)=f(x2/x1)+f(x1)
即 f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0
所以 f(x1)<f(x2)
f(x)在(0,﹢∞)上是增函数
(3)用数学归纳法。
①当n=1时，显然成立。
②假设n=k时，有f(x^k)=kf(x)成立，那么
f[x^(k+1)]=f(x•x^k)=f(x)+f(x^k)=f(x)+kf(x)=(k+1)f(x)
即n=k+1时，命题也成立，
所以，f(x^n)=nf(x),n∈N*

Answer 2

(1) 令x=y=1，则f(1*1)=f(1)+f(1)，=> f(1)=0
令1/x=y，则xy=1，且当0<x<1时，y>1，f(y)>0
有，f(xy)=f(x)+f(y)=f(1)=0，∴f(x)=-f(y)<0
∴当0<x<1时，f(x)<0
(2) 设，则0<x1/x2<1，则f(x1/x2)<0
由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)
∴f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0，
∴当0<x1<x2时，f(x1)<f(x2)，即f(x)在(0,﹢∞)上是增函数
(3) f(x^n)=f(x*x^(n-1))=f(x)+f(x^(n-1))
f(x^(n-1))=f(x*x^(n-2))=f(x)+f(x^(n-2))
......
f(x^2)=f(x*x)=f(x)+f(x)
f(x)=f(x*1)=f(x)+f(1)
上述n个等式相加，得
f(x^n)=nf(x)+f(1)=nf(x)

希望对你有帮助

Answer 3

[[[1]]]
其一,
由题设可知,令x=y=1时,
则有f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0.
其二
当0＜x＜1时,有1/x＞1,由题设可知f(1/x)＞0
又由题设可知
0=f(1)=f[x(1/x)]=f(x)+f(1/x)
∴f(x)=-f(1/x)＜0.
即当0＜x＜1时,有f(x)＜0.
[[[2]]]
可设0＜a＜b,
则b/a＞1. 由题设f(b/a)＞0.
∵由题设有f(b)=f[a×(b/a)]=f(a)+f(b/a)
∴f(b)-f(a)=f(b/a)＞0
即f(a)＜f(b)
∴当0＜a＜b时,就有f(a)＜f(b)
∴由函数单调性定义,
函数f(x)在(0,+∞)上递增
[[[3]]]
当n=1时,f(x)=f(x).
当n=2时,f(x²)=f(x×x)=f(x)+f(x)=2f(x)
∴当n=1,和n=2时,有f(x^n)=nf(x)成立
假设当n=k时,有f(x^k)=kf(x)成立
由题设f[x^(k+1)]=f[x·(x^k)]=f(x)+f(x^k)=f(x)+kf(x)=(k+1)f(x)
∴当n=k+1时,有f[x^(k+1)]=kf(x)成立
∴对任意正整数n,恒有f(x^n)=nf(x)

Answer 4

证明：
(1)设x>1,则有如下推导：
f(1) = f(1 * 1) = f(1) + f(1) ==> f(1)=0
所以，f(1) = f(x * 1/x) = f(x) + f(1/x) =0 ， 设y=1/x，那么 0<y<1, f(y)=f(1/x)= -f(x) <0
(1)证明完毕

(2)设x1<x2 属于(0,﹢∞)
f(x2)-f(x1)=f(x2*x1*1/x1) - f(x1) = f(x2) + f(x1) + f(1/x1) - f(x1) = f(x2) + f(1/x1) = f(x2/x1)
因为x2/x1>1, 所以f(x2)-f(x1) >0 ,因此f(x)在(0,﹢∞)上是增函数
(2)证明完毕

(3)数学归纳法：
f(x^1)=1*f(x)
假设f(x^n)=nf(x)，那么f(x^(n+1)) = f(x * x^n) = f(x) + f(x^n) = f(x) + nf(x) = (n+1)f(x)
根据数学归纳法可以证明f(x^n)=nf(x)成立
(3)证明完毕