Question

关于数学归纳法的一个问题

命题An：“若a,b是任意两个使max(a,b)=n的任意两个正整数，则a=b。”
证明：（1）设a,b是任意两个使max(a,b)=r+1的正整数。考虑两个整数 α=a-1,β=b-1.则max(α,β)=r,又由于假设Ar成立，因此α=β，由此知a=b.因此Ar+1成立。
（2）A1显然成立。因为若max(a,b)=1，则由于a,b是正整数，所以都必须等于1.
因此按数学归纳法，An对任意的n成立。

现在如果a和b是两个不管什么样的正整数，用r表示max(a,b),由于已证明了对任意的n,An是成立的。特别是Ar是成立的，因此a=b.
很明显命题出错了。请找出以上证明的错误。

PS：网不给力。一直没能把问题说清楚。抱歉。

Answer 1

你既然都说了a,b是任意两个数，也就是可变的，在（1）中又令α=a-1,β=b-1，这是自相矛盾的事情，Ar+1里面的a,b是不受Ar里面的a,b所控制的，你这种证明因为你的"令",虽然前面一个命题是任意2个数a和b，但是后面一个就不是任意的了，相当于限制了条件，只说明了Ar里面的一种a=b的情况。
不知道你看明白没有，没有可以追问

Answer 2

我真是看晕了，你的证明里面有证明上述的命题An成立么，A1成立没错，Ar成立你是怎么证明的，你给我证明看看A2怎么成立的，不好意思理解错了，看补偿条件终于明白了，LZ证明完毕后，应该还不知道结果是怎么出来了，归纳法不是那么玩的，这道题简单，跟着命题走写出结果很容易，不需要转换，很多命题，n+1的证明是需要过程的。建议你用其他方法去证明一下以上命题，就会理解了。a,b是条件，是变量，n只是个应变量。

追问

但是命题是不成立的，无论怎么做都是不可能证出来的。

追答

明白了，你的意思是用数学归纳法证明以上命题的证明方法是错误的，主要是任意两个字吧，对于数学归纳法的证明用An推断A(n+1)成立来说，没有任意两个字，这个命题用数学归纳法证明应该没错，但是有了任意，没法定变量了，a、b和(a+1)、(b+1)都是任意数，两则没有关系，数学归纳法显然没法成立，考虑用其他证明方法证明还是挺简单的。

Answer 3

这问题 把人看得稀里糊涂的，太变态了，还不知道要干什么

Answer 4

什么问题啊？？要做什么啊？？