函数f(x)=1/2(a^x+a^-x)(a>0,a≠1)的图像经过点(2,41/9)
(1)求函数解析式(2)若函数f(x)值域【1,5/3】,试确定x的取值范围(第一问会了主要是第二问、)...
(1)求函数解析式 (2)若函数f(x)值域【1,5/3】,试确定x的取值范围 (第一问会了 主要是第二问、)
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⑴∵f(x)=1/2(a^x+a^-x)过点(2,41/9)
∴41/9=1/2(a²+a-²﹚
9a^4-82a²+9=0
∴﹙a²-9﹚﹙9a²-1﹚=0
∴a²=9 或a²=1/9
a=3或a=1/3﹙∵a>0﹚
∴f(x)=1/2(3^x+3^-x)
⑵∵1≤f(x)≤5/3
∴1≤1/2(3^x+3^-x)≤5/3
2≤3^x+3^-x≤10/3
而2≤3^x+3^-x对一切x都成立﹙利用重要不等式x+y≥2√xy﹚
由3^x+3^-x≤10/3得
3×﹙3^x﹚²-10﹙3^x﹚+3≤0
∴﹙3^x-3﹚﹙3×3^x-1﹚≤0
1/3≤3^x≤3
∴-1≤x≤1
综上-1≤x≤1
∴41/9=1/2(a²+a-²﹚
9a^4-82a²+9=0
∴﹙a²-9﹚﹙9a²-1﹚=0
∴a²=9 或a²=1/9
a=3或a=1/3﹙∵a>0﹚
∴f(x)=1/2(3^x+3^-x)
⑵∵1≤f(x)≤5/3
∴1≤1/2(3^x+3^-x)≤5/3
2≤3^x+3^-x≤10/3
而2≤3^x+3^-x对一切x都成立﹙利用重要不等式x+y≥2√xy﹚
由3^x+3^-x≤10/3得
3×﹙3^x﹚²-10﹙3^x﹚+3≤0
∴﹙3^x-3﹚﹙3×3^x-1﹚≤0
1/3≤3^x≤3
∴-1≤x≤1
综上-1≤x≤1
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