Question

如图所示，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E,F分别为AB,AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF

Answer 1

证明：
假设AE＞AF【你可看你的图而定，我给你提供方法】
在AE上截取AG=AF，连接DG
∵AG=AF，∠GAD=∠FAD，AD=AD
∴⊿AGD≌⊿AFD（SAS）
∴DG=DF，∠AGD=∠AFD
∵∠EDF+∠EAF=180º
∴∠AED+∠AFD=180º【四边形内角和360º】
∵∠AGD+∠EGD=180º
∴∠AED=EGD
∴DE=DG
∴DE=DF

Answer 2

证明：
作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N
∵AD是∠BAC的平分线
∴DN=DM，∠MDN+∠BAC=180°
∵∠EDF+∠EAF=180°
∴∠EDM=∠FDN
∵∠EMD=∠FND=90°
∴△EMD≌△FND
∴DE=DF

Answer 3

<EDF+<EAF=180º
则，A,E.D,F四点共圆
所以，<EAD=<EFD, <FAD=<FED
因为，AD是<BAC 的平分线。所以，<EAD=<FAD
那么，<EFD=<FED
所以，DE=DF

Answer 4

证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，
∴∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠AED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠CFD=180°，
∴∠AED=∠CFD，
在△EMD和△FND中
∠EMD=∠FND
∠AED=∠CFD
DM=DN

，
∴△EMD≌△FND，
∴DE=DF

Answer 5

证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.

∵AD平分∠BAC，

∴DM＝DN(角平分线上的点到角两边的距离相等).

∵∠AMD+∠MDN+∠AND+∠NAM=360°，∠AMD+∠AND=180°，

∴∠MDN+∠NAM=180°.

∵∠EDF+∠FAE=180°，

∴∠MDN=∠EDF.

∴∠MDE=∠FDN.

在△EDM和△FDN中，

∠EDM=∠FDN
DM=DN
∠DME=∠DNF

∴△EDM≌△FDN(ASA).

∴DE＝DF(全等三角形对应角相等).