已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D
已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D,交圆O的切线BF于点F,B为切点,求证:(1)BD平分角CBF;(2)AB·BF=AF·CD...
已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D,交圆O的切线BF于点F,B为切点,求证:(1)BD平分角CBF;(2)AB·BF=AF·CD
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证明:
(1)
∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD
∵∠CBD=∠CAD(同弧所对的圆周角相等),AD平分∠BAC
∴∠FBD=∠CBD
即BD平分角CBF
(2)
连接CD
∵AD平分∠BAC
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
∵∠FBD=∠FAB,∠F=∠F
∴△FBD∽△FAB
∴FB/AF=BD/AB
∴AB*BF=AF*BD=AF*CD
(1)
∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD
∵∠CBD=∠CAD(同弧所对的圆周角相等),AD平分∠BAC
∴∠FBD=∠CBD
即BD平分角CBF
(2)
连接CD
∵AD平分∠BAC
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
∵∠FBD=∠FAB,∠F=∠F
∴△FBD∽△FAB
∴FB/AF=BD/AB
∴AB*BF=AF*BD=AF*CD
追问
为什么“∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD”
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∠1=∠BAD,∠2=∠CAD,∠3=∠FBD,∠4=∠DBC
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,(2分)
∵BF切⊙O于点B,∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,(4分)
又∵∠2=∠4,
∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)
(2)在△DBF和△BAF中,
∵∠3=∠1,∠F=∠F,
∴△DBF∽△BAF,(8分)
∴
BDAB
=
BFAF
即AB•BF=AF•BD(10分)
∵∠1=∠2,
∴BD=CD,(11分)
∴AB•BF=AF•CD.(12分)
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,(2分)
∵BF切⊙O于点B,∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,(4分)
又∵∠2=∠4,
∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)
(2)在△DBF和△BAF中,
∵∠3=∠1,∠F=∠F,
∴△DBF∽△BAF,(8分)
∴
BDAB
=
BFAF
即AB•BF=AF•BD(10分)
∵∠1=∠2,
∴BD=CD,(11分)
∴AB•BF=AF•CD.(12分)
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