已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D

已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D,交圆O的切线BF于点F,B为切点,求证:(1)BD平分角CBF;(2)AB·BF=AF·CD... 已知:如图,△ABC内接于圆O,角BAC的平分线交圆O于点D,交圆O的切线BF于点F,B为切点,求证:(1)BD平分角CBF;(2)AB·BF=AF·CD 展开
亚当夜妖
2011-12-01 · TA获得超过1.4万个赞
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【解】:

【1】
因为,BF是切线
所以,∠FBD=∠BAF(切线夹的弦所对圆周角与切线和弦的夹角相等)
因为,∠DBC=∠DAC(同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等)
∠BAF=∠DAC(角平分线
所以,∠FBD=∠DBC
即得:BD是∠FBC的角平分线。

Q.E.D

【2】
因为,DA是∠BAC的角平分线
所以,BD=CD(同圆或等圆中,圆周角相等,对应的弦相等)
在△FBA与△FDB中
∠F=∠F,∠BAF=∠FBD
所以,△FBA∽△FDB
可得:AB/BD = AF/BF
即AB*BF=BD*AF
因为,BD=CD
所以,AB*BF=AF*CD

Q.E.D.
看7de50
高赞答主

2011-12-01 · 觉得我说的对那就多多点赞
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证明:
(1)
∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD
∵∠CBD=∠CAD(同弧所对的圆周角相等),AD平分∠BAC
∴∠FBD=∠CBD
即BD平分角CBF
(2)
连接CD
∵AD平分∠BAC
∴弧BD=弧CD
∴BD=CD
∵∠FBD=∠FAB,∠F=∠F
∴△FBD∽△FAB
∴FB/AF=BD/AB
∴AB*BF=AF*BD=AF*CD
追问
为什么“∵BF是圆O的切线
∴∠FBD=∠BAD”
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百度网友c9f8bf9
2013-01-17 · TA获得超过1119个赞
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∠1=∠BAD,∠2=∠CAD,∠3=∠FBD,∠4=∠DBC
证明:(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,(2分)
∵BF切⊙O于点B,∴∠3=∠2,
∴∠3=∠1,(4分)
又∵∠2=∠4,
∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)

(2)在△DBF和△BAF中,
∵∠3=∠1,∠F=∠F,
∴△DBF∽△BAF,(8分)

BDAB
=
BFAF
即AB•BF=AF•BD(10分)
∵∠1=∠2,
∴BD=CD,(11分)
∴AB•BF=AF•CD.(12分)
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