Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、C（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标
能不能说下为什么M在直线BC

Answer 1

由于对称轴为x=1
所以可设y=a(x-1)²+b
把点(-1,0)(0,-3)代入
4a+b=0
a+b=-3
解得a=1 b=-4 y=(x-1)²-4
2 (0,-3) 关于x=1 的对称点为(2,-3)
连接点(-1,0) 和(2,-3) 与x=1的交点即为M 使得|MA|+|MC|最小
y/(x+1)=(y+3)/(x-2) x=1 交点为 (1,-2) 所以点M为(1,-2)
3 y=(x-1)²-4=(x-3)(x+1)
当y=0 (x-3)(x+1)=0
x=3 或x=-1 所以点B为(3,0)
设PC斜率为k 则y=kx-3
PB 为 y=-(x-3)/k
y=kx-3 当x=1 y=k-3 y=-(x-3)/k 当x=1 y=2/k=k-3
解得k=(3±根号下17)/2
y=4/(3±根号下17)
所以点P为 (1,4/(3+根号下17)或(1,4/(3-根号下17)

Answer 2

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），由于抛物线经过C（0，-3），
则有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3；

（2）由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，
那么M点为直线BC与x=1的交点；
由于直线BC经过C（0，-3），可设其解析式为y=kx-3，
则有：3k-3=0，k=1；
∴直线BC的解析式为y=x-3；
当x=1时，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作PD⊥y轴，垂足为D；
∵OB=OC=3，
∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，
∴P（1，-4）．