Question

如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1•x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是　M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【解题思路】第（1）问，将F（0，1）代入y=kx＋b即可得b值。

⑵要将坐标转化为方程组的解，将方程组变形得关于x的一元二次方程，

再利用根与系数的关系得x1*x2=－4

（3）要结合条件并利用（2）中的结论得到F1M1•F1N1=－x1•x2=4，结合（1）中的结论得

F F1=2，再把两个结论结合得到F1M1•F1N1=F1F2

判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性质，

就可得到∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，

所以△M1FN1是直角三角形．

【答案】解：⑴b=1

⑵显然是方程组的两组解，解方程组消元得(1/4)x^2-kx-1=0，依据“根与系数关系”得x1*x2=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，

则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，

另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，

故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

Answer 2

[] Επίλυση προβλημάτων ιδέες (1) Q, το F (0,1) σε y = kx + B για να πάρετε β-αξίας.

⑵ συντεταγμένες στο εξισώσεις για την επίλυση των εξισώσεων της παραμόρφωσης έχουν μια τετραγωνική εξίσωση x,

Επαναχρησιμοποίηση των σχέσεων μεταξύ ριζών και συντελεστών x1 * x2 =- 4

(3) τις συνθήκες φωτός και τη χρήση (2) τα συμπεράσματα είναι F1M1 • F1N1 το οποίο =- x1 • x2 = 4, σε συνδυασμό με (1) είναι τα συμπεράσματα

F F1 = 2, τότε ο συνδυασμός των δύο συμπεράσματα που θα F1M1 • F1N1 το οποίο = F1F2

Καθορίστε το δικαίωμα τρίγωνο παρόμοια με την επαναχρησιμοποίηση ορθογώνιο τρίγωνο παρόμοιας φύσης,

Μπορείτε να πάρετε M1FN1 ∠ = ∠ + ∠ M1FF1 F1FN1 = ∠ FN1F1 + ∠ F1FN1 = 90 °,

Έτσι △ M1FN1 ορθογωνίου τριγώνου.

[Απάντηση] λύση: ⑴ b = 1

⑵ προφανώς οι δύο λύσεις των εξισώσεων, λύση των εξισώσεων εξάλειψης (1 / 4) x ^ 2-kx-1 = 0, με βάση τις "σχέσεις μεταξύ ριζών και συντελεστών" να πάρει * x1 x2 =- 4

⑶ △ M1FN1 ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τους ακόλουθους λόγους:

Τετμημένη από το πρόβλημα γνωστό ως Μ1, x1, N1 της τετμημένης x2, με βάση M1N1 διασχίζουν τον άξονα y στην F1,

Η F1M1 • F1N1 το οποίο =- x1 • x2 = 4 και F F1 = 2, οπότε F1M1 • F1N1 το οποίο = F1F2,

Μια άλλη ∠ M1F1F = ∠ FF1N1 = 90 °, είναι εύκολο να Rt △ M1FF1 ∽ Rt △ N1FF1, έχουν M1FF1 ∠ = ∠ FN1F1,

Ως εκ τούτου ∠ M1FN1 = ∠ M1FF1 + ∠ F1FN1 = ∠ FN1F1 + ∠ F1FN1 = 90 °, έτσι △ M1FN1 ορθογωνίου τριγώνου.
[ ] Epílysi̱ provli̱máto̱n idées (1) Q , to F (0,1) se y = kx + B gia na párete v - axías .

⑵ syntetagménes sto exisó̱seis gia ti̱n epílysi̱ to̱n exisó̱seo̱n ti̱s paramórfo̱si̱s échoun mia tetrago̱nikí̱ exíso̱si̱ x ,

Epanachri̱simopoíi̱si̱ to̱n schéseo̱n metaxý rizó̱n kai syntelestó̱n x1 * x2 =- 4

(3) tis synthí̱kes fo̱tós kai ti̱ chrí̱si̱ (2) ta symperásmata eínai F1M1 • F1N1 to opoío =- x1 • x2 = 4 , se syndyasmó me (1) eínai ta symperásmata

F F1 = 2 , tóte o syndyasmós to̱n dýo symperásmata pou tha F1M1 • F1N1 to opoío = F1F2

Kathoríste to dikaío̱ma trígo̱no parómoia me ti̱n epanachri̱simopoíi̱si̱ orthogó̱nio trígo̱no parómoias fýsi̱s,

Boreíte na párete M1FN1 ∠ = ∠ + ∠ M1FF1 F1FN1 = ∠ FN1F1 + ∠ F1FN1 = 90 ° ,

Étsi △ M1FN1 orthogo̱níou trigó̱nou .

[ Apánti̱si̱ ] lýsi̱ :̱ ⑴ b = 1

⑵ profanó̱s oi dýo lýseis to̱n exisó̱seo̱n , lýsi̱ to̱n exisó̱seo̱n exáleipsi̱s ( 1 / 4) x ^ 2- kx -1 = 0 , me vási̱ tis " schéseis metaxý rizó̱n kai syntelestó̱n " na párei * x1 x2 =- 4

⑶ △ M1FN1 enós orthogo̱níou trigó̱nou eínai éna orthogó̱nio trígo̱no , tous akólouthous lógous :̱

Tetmi̱méni̱ apó to próvli̱ma gno̱stó o̱s M1 , x1 , N1 ti̱s tetmi̱méni̱s x2 , me vási̱ M1N1 diaschízoun ton áxona y sti̱n F1 ,

I̱ F1M1 • F1N1 to opoío =- x1 • x2 = 4 kai F F1 = 2 , opóte F1M1 • F1N1 to opoío = F1F2 ,

Mia álli̱ ∠ M1F1F = ∠ FF1N1 = 90 ° , eínai éf̱kolo na Rt △ M1FF1 ∽ Rt △ N1FF1 , échoun M1FF1 ∠ = ∠ FN1F1 ,

O̱s ek toútou ∠ M1FN1 = ∠ M1FF1 + ∠ F1FN1 = ∠ FN1F1 + ∠ F1FN1 = 90 ° , étsi △ M1FN1 orthogo̱níou trigó̱nou .

Answer 3

将F（0，1）代入y=kx＋b
b=1

y=x2，y=kx+1，
x²－kx－1＝0
x1＝2k－2.x2＝2k＋2
x1×x2＝-4

设直线l与y的交点是F1
FM1²＝FF1²＋M1F1²＝X1²＋4
FN1²＝FF1²＋N1F1²＝X2²＋4
M1N1²=﹙X1－X2﹚²＝X1²＋X2²＋8
∴M1N1²=FM1²＋FN1²
△M1FN1是以F1为直角定点的直角三角形

Answer 4

（1）直线过（0,1）明显b=1
（2）直线解析式和抛物线解析式联立方程组得14x^2-kx-1=0，韦达定理，x1x2=c/a=-1/14
(3) 锐角三角形
证明：M1（x1,-1）,M2(x2,-1),所以向量FM1=（x1，-2）向量FM2=（x2,-2),两向量相乘结果为x1x2+4>0,说明两向量夹角为锐角，即角M1FM2为锐角，而且容易知道其他两角也为锐角

Answer 5

1）将F（0，1）代入y=kx＋b，解得b=1；
（2）过点F（0，1）的直线y=kx+1与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，联立直线与抛物线解析式得1/4x^2-kx-1=0，所以x1•x2=-4；
（3）设直线l：y=-1交Y轴于F1，△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，
则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而F F1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，
另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，
故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．