Question

已知：向量a、b，a模=根号2，b模=3，a与b夹角为45°，求使a+λb与λa+b夹角为锐角的λ的取值范围。

高一 苏教版 必修四 45分钟作业与单元评估上的题

Answer 1

设向量a、b坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，(x1)²+(y1)²=2，(x2)²+(y2)²=9，a•b=|a|•|b|cos45°，x1x2+y1y2=√2*3*√2/2=3，a+λb的坐标为(x1+λx2,y1+λy2)，λa+b的坐标为(λx1+x2,λy1+y2)，(a+λb)•(λa+b)=λ[((x1)²+(y1)²+(x2)²+(y2)²]+(1+λ)(x1x2+y1y2)=14λ+3，当)(a+λb)•(λa+b)=14λ+3＞0时，a+λb与λa+b夹角为锐角，则λ＞-3/14。

Answer 2

a*b=|a|*|b|*cos45°=3
(a+λb)(λa+b)=λ(a^2+b^2)+（λ^2+1)ab=11λ+(λ^2+1)*3=|a+λb||λa+b|*cosa>0
解得：λ < (-11-√85)/6 或者 λ > (-11+√85)/6

Answer 3

要保证a+¥b与¥a+b夹角为锐角只需令(a+¥b)*(¥a+b)>0即¥a¤2+ab+¥¤2ab+¥b¤2>0所以由已知条件可得3¥¤2+11¥+3>0推出¥解集为R(¤表平方）