Question

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x 2 -（b+10）x+c．（1）若该

已知直线y=-2x+b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=x 2 -（b+10）x+c．（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式．

Answer 1

（1）直线y=-2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A坐标为（ b 2 ，0），点B坐标（0，b）， 由题意知，抛物线顶点P坐标为（ b+10 2 ， 4c- (b+10) 2 4 ）， ∵抛物线顶点P在直线y=-2x+b上，且过点B， 解得b 1 =-10，c 1 =-10，b 2 =-6，c 2 =-6， ∴抛物线解析式为y=x 2 -10或y=x 2 -4x-6； （2）∵点A坐标（ b 2 ，0），点B坐标（0，b）， ∴OA=| b 2 |，OB=|b|， 又∵OA⊥OB，AB⊥BC， ∴△OAB ∽ △OBC ∴ OB OC = OA OB ∴OB 2 =OA?OC， 即b 2 =OC?| b 2 |， ∴OC= 2 b 2 |b| ∵抛物线y=x 2 -（b+10）x+c的对称轴为x= b+10 2 且抛物线对称轴过点C， ∴| b+10 2 |= 2 b 2 |b| ． （i）当b≤-10时，- b+10 2 =-2b， ∴b= 10 3 （舍去） 经检验，b= 10 3 不合题意，舍去． （ii）当-10≤b＜0时， b+10 2 =-2b， ∴b=-2， （iii）当b＞0时， b+10 2 =2b， ∴b= 10 3 ， 此时抛物线对称轴直线为x=- -( 10 3 +10) 2×1 = 20 3 ＞0， BC与x轴的交点在x轴负半轴， 故不符合题意，舍去． ∴直线的解析式为y=-2x-2．