Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（1）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：0＜x＜1时f（x）

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（1）求曲线在（1，f（1））处的切线方程；（2）证明：0＜x＜1时f（x）＜0．

Answer 1

（1）函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，
f′（x）=lnx+（x+1）?

1

x

-1=lnx+

1

x

，
f′（1）=1，f（1）=0，
∴曲线在（1，f（1））处的切线方程为：y=x-1．
（2）证明：令g（x）=lnx-x，那么g′（x）=

1

x

-1，
g′（x）＞0，则0＜x＜1；g′（x）＜0，则x＞1．
可知当0＜x＜1时单调增，当x＞1时单调减．
故g（x）=lnx-x 在x=1 处取最大值为g_max=-1，
故lnx-x≤-1，即lnx-x+1≤0．
故当0＜x＜1 时，f（x）=xlnx+lnx-x+1＜0．