Question

如果cos²α-cos²β=a 则sin(a+ β)sin(a-β)等于

如果cos²α-cos²β=a 则sin(a+ β)sin(a-β)等于

Answer 1

sin(α+β)sin(α-β)
=(sinacosβ+cosasinβ)(sinacosβ-cosasinβ)
=(sinacosβ)^2-(cosasinβ)^2
=sin^2a(1-sin^2β)-(1-sin^2a)sin^2β
=sin^2a-sin^2β
=-[cos²α-cos²β]
=-a
通过整理可得：sin(a+b)sin(a-b)=sina*sina*cosb*cosb-cosa*cosa*sinb*sinb=cos²β-cos²α
所以，答案是-a.

Answer 2

前面那个用降次扩角公式：
1/2(cos2α+1)-1/2(cos2β+1)=a，可得：cos2α-cos2β=2a。
则原式用和差化积公式可得：
sin(α+β)sin(α-β)=-1/2(cos2α-cos2β)=-1/2·2a=-a。