Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF ∥ AC，AB= 2 ，CE=EF=1，∠ECA=60

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF ∥ AC，AB= 2 ，CE=EF=1，∠ECA=60°．（1）求证：AF ∥ 平面BDE；（2）求异面直线AB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，且AB= 2 ， ∴AO=1，又EF ∥ AC，EF=1， ∴EFAO为平行四边形，则AF ∥ OE，而AF?面BDE，OE?面BDE， ∴AF ∥ 面BDE（3分） （2）∵ABCD是正方形， ∴AB ∥ CD ∴∠EDC为异面直线AB与DE所成的角或其补角（2分） 又BD⊥AC，又面ABCD⊥面ACEF，且面ABCD∩面ACEF=AC ∴BD⊥面ACEF，又OE?面ACEF， ∴BD⊥OE． 而由EC=1，OC=OA=1，∠ECA=60° ∴OE=1，又OD=1，则ED= O E 2 +O D 2 = 2 又CD= 2 ，CE=1， ∴ Cos∠EDC= 2+2-1 2× 2 × 2 = 3 4 ∴异面直线AB与DE所成的角的余弦值为 3 4 （3分）