Question

方阵A相似于方阵B，A和B一定可以对角化吗？

因为定义是P-1AP=B，不能对角化就没有可逆P，对吗
如果A与B特征值相同，但是只有A能对角化，那AB相似吗

Answer 1

并不是你说的那么回事

比如对于方阵A=
1 1
0 1
那么对任一可逆矩阵P
求出B=P^-1AP都是与A 相似的
但它们不能对角化
注意实际上相似讨论的不是特征值都相同
而是满足式子B=P^-1AP即可
当然如果是对于实对称矩阵，也就是二次型
只要特征值都相同，那就是相似的
因为实对称矩阵一定可以对角化

追问

就是说相同特征值的方阵也有可能不相似，相似的矩阵要不就全都可以对角化，要不就全都不可以是吗

追答

我说的是相同特征值的实对称矩阵一定可以对角化
而一般的方阵就不一定
如果有n个线性无关的特征向量
方阵就可以对角化
并不是你说的“相似的矩阵要不就全都可以对角化，要不就全都不可以”
而相同特征值的方阵当然也有可能不相似