Question

如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点

如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点
(1)求证:AC⊥平面SBD
(2)若E为BC中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并保持PE⊥AC,试指出动点P的轨迹,并证明你的结论 2
求具体步骤,回答给十分,骗你们我死全家

Answer 1

（1）先用同一法证S在底面ABCD的射影是O。

作SO'⊥底面ABCD，垂足为O'，由于SA=SB=SC=SD，所以O‘A=O’B=O‘C=O’D

又底面是菱形，从而 O'与O重合。

于是 SO⊥底面ABCD，从而平面SBD⊥底面ABCD，交线是BD，又AC⊥BD

从而AC⊥平面SBD

（2）设F、G分别是CD和SC的中点，则P的轨迹是线段FG。

连EF、FG、EG，由于 EF//BD，EG//SB，从而 平面EFG//平面SBD，又由（1）AC⊥平面SBD

从而，AC⊥平面EFG，取FG上任何一点P，都有AC⊥PE，故P的轨迹是线段FG。