Question

求y''+2y'=x的微分方程通解

主要是特征根=0的方程式子不太会列。
只知道后面代入为4ax+2a+2b=x，这一步不太懂

Answer 1

求微分方程 y''+2y'=x 的通解；
解：先求齐次方程 y''+2y'=0的通解。
其特征方程 r²+2r=r(r+2)=0个根：r₁=0，r₂=-2；
故齐次方程的通解为：y=c₁+c₂e^(-2x)；
设其特解 y*=(ax+b)x；则y*'=2ax+b，y*''=2a，
代入原式得 2a+2(2ax+b)=x；即有4ax+2(a+b)=x；
故 4a=1，即a=1/4；a+b=0，b=-a=-1/4；∴特解y*=[(1/4)x-(1/4)]x=(1/4)x²-(1/4)x；
故原方程的通解为：y=c₁+c₂e^(-2x)+(1/4)x²-(1/4)x；

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

y''+2y'=x
The aux. equation
p^2 +2p =0
p(p+2)=0
p=0 or -2
let
yp = Ae^(-2x) +B
yg= Cx
yg''=0
2Cx = x
C=1/2
y= yg+yp = Ae^(-2x) +B +(1/2)x