Question

已知函数f(x)＝|1?1x|．（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，值域

已知函数f(x)＝|1?1x|．（1）是否存在a＜b且a，b∈[1，+∞），使得当函数f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[18a，18b]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由；（2）若存在实数a，b（a＜b），使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）若存在，则由于当a，b∈[1，+∞）时，f(x)＝1?

1

x

在[1，+∞）单调递增，则f(a)＝

1

8

a，f(b)＝

1

8

b，可知a，b是方程x²-8x+8=0的实根，求得a＝4?2

2

，b＝4+2

2

满足条件…..（6分）
（2）若存在，则易知m＞0，a＞0
当a，b∈（0，1）时，由于f(x)＝

1

x

?1在（0，1）单调递减，则可得f（a）=mb，f（b）=ma，则得

1

a

?1＝mb，

1

b

?1＝ma，相减得

b?a

ab

＝m(b?a)，
由于a≠b，则m＝

1

ab

，所以

1

a

?1＝mb＝

1

a

，∴-1=0，这是不可能的，
故此时不存在实数a，b满足条件；…（8分）
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，显然1∈[a，b]，而f（1）=0则0∈[a，b]，矛盾．
故此时也不存在实数a，b满足条件；…（10分）
当a，b∈[1，+∞）时，由于f(x)＝1?

1

x

在[1，+∞）单调递增，则f（a）=ma，f（b）=mb，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个大于1的实根，
∴由△＞0，

1± 1?4m

2m

＞1可得m的取值范围是(0，

1

4

)．…（14分）