Question

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A,D不重合），一直角边经过点C，另一直角边与AB交与点E，我们知道，结论“Rt三角形AEP∽Rt三角形DPC”成立。
（1）当∠CPD=30°时，求AE的长。
（2）是否存在这样的点P，使三角形DPC的周长等于三角形AEP的周长的2倍？若存在，求出DP的长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解:(1)当∠CPD=30°时，PC=2CD=8,PD=√(PC^2-CD^2)=4√3.
由⊿AEP∽⊿DPC得:AE/DP=PA/CD.
即:AE/4√3=(10-4√3)/4, AE=10√3-12.
(2)若⊿DPC周长为⊿AEP的周长的2倍;
又⊿AEP∽⊿DPC.
∴⊿AEP与⊿DPC的相似比为1:2,
则:PA=(1/2)CD=2,故DP=AD-PA=8.

Answer 2

解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cot30°=4 3 ，
∴AP=AD-PD=10-4 3 ．
在Rt△APE中，AP=10-4 3 ，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=10 3 -12．

（2）假设存在这样的点P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴CD AP =PD AE =PC PE =2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．

Answer 3

解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cos30°=43，
∴AP=AD-PD=10-43．
在Rt△APE中，AP=10-43，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=103-12．
（2）假设存在这样的点P，∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴CDAP=PDAE=PCPE=2．
∵CD=AB=4，∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．

Answer 4

角APE+角DPC=90°
角APE+角AEP=90°
角DPC=角AEP（1）
角PDC=角PAE=90°（2）
故相似

Answer 5

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/217e7a15-8053-493d-af78-adb6b87dda24