Question

求不定积分xcot(1+x^2)dx答案

Answer 1

求不定积分∫xcot(1+x²)dx
解：原式=(1/2)∫cot(1+x²)d(1+x²)=(1/2)∫[cos(1+x²)/sin(1+x²)]d(1+x²)
=(1/2)∫d[sin(1+x²)]/sin(1+x²)=(1/2)ln︱sin(1+x²)︱+C

Answer 2

一楼概念错误，是自然对数ln，不是log！通常以10为底写成lg，但是计算器上一般误为log。
dx/x 的积分，绝对不可以写成log！！

二楼、三楼，都是正确的！！

Answer 3

令t=1+x^2即可积分：∫xcot(1+x^2)dx=1/2log(sin(x^2+1))+C

追问

您说的太对了，谢了！
可是我用了分步积分，也得到了答案：1/2x^2cot(1+x^2)+1/4ln(x^2+2x+2)-1/2arctg(1+x^2)
我的问题实际为：我的结果为何与你的结果不一样，如果分步积分过程（虽比较麻烦）没错的话，两种方法应结果相同？

能用分步积分帮我分析一下吗？ 我的结果对吗？

追答

如果用分部积分，对上式直接积分：
∫xcot(1+x^2)dx = x^2 cot [ 1+x^2 ] - ∫ x d[x*Cot(1+x^2)] = x^2 Cot [ 1+x^2 ] - ∫ {Cot[1 + x^2] - 2 x^2 Csc[1 + x^2]^2}dx
而Cot[1 + x^2]这个函数的原函数不是初等函数！不是所有函数都能够积分出来，所以你做不出答案

追问

原式变成1/2∫ cot(1+x^2)dx^2 = 1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ] - 1/2∫ x^2 d[Cot(1+x^2)] 然后用有理式积分可以积出来，帮着作作看！
谢谢各位大侠！

追答

- 1/2∫ x^2 d[Cot(1+x^2)] = ∫ x^3 Csc^2[1+x^2] dx = ■然后我也不会了，我觉得你这个根本不是分部积分的问题，是第一换元法没掌握好造成的这种牛角尖。我用计算机算了一下，答案如下（只是后半段，还要加1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ])
可以确定，你的原函数算的不对

Answer 4

∫xcot(1+x^2)dx
=(1/2)∫cos(1+x^2)d(x^2+1)/sin(1+x^2)
=(1/2)ln|sin(1+x^2)| +C

追问

各位大侠：
这是个考题，标准答案为=(1/2)ln|sin(1+x^2)| +C 。有个学生用分步积分，结果为：1/2x^2cot(1+x^2)+1/4ln(x^2+2x+2)-1/2arctg(1+x^2)+C
过程如下：原式=1/2∫ cot(1+x^2)dx^2
=1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ] - 1/2∫ x^2 d[Cot(1+x^2)]
=1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ] - 1/2∫ x^2*2X/[1 +(1+x^2)^2]dx
利用了Cot(1+x^2)的导数公式。
我也看不出过程有错。.
为何与标准答案不同，他的结果对不对？ 给不给分？

追答

原式=1/2∫ cot(1+x^2)dx^2
=1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ] - 1/2∫ x^2 d[Cot(1+x^2)]
下一步大错！ dcot(1+x^2) 不是darctan(1+x^2)
darctan(x^2+1)=2xdx/(1+(1+x^2)^2)
=1/2(x^2 cot [ 1+x^2 ] - 1/2∫ x^2*2X/[1 +(1+x^2)^2]dx