Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．
（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；
（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

Answer 1

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

　　（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

　　（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求

　　出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

　　【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

　　∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

　　∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

　　又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN

　　又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM．

　　（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

　　∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

　　由勾股定理，得PQ＝ ＝

　　∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝

　　又∵PQ⊥MN ∴S＝ ＝ ＝ t2－t＋

　　∵0≤t≤2 ∴当t＝1时，S最小值＝2．

　　综上：S＝ t2－t＋ ，S的最小值为2．

Answer 2

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

　　（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

　　（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求

　　出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

　　【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

　　∵QE⊥AB，MF⊥BC ∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

　　∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

　　又∵PQ⊥MN ∴∠EQP＝∠FMN

　　又∵∠QEP＝∠MFN＝90° ∴△PEQ≌△NFM．

　　（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

　　∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

　　由勾股定理，得PQ＝ ＝

　　∵△PEQ≌△NFM ∴MN＝PQ＝

　　又∵PQ⊥MN ∴S＝ ＝ ＝ t2－t＋

　　∵0≤t≤2 ∴当t＝1时，S最小值＝2．

　　综上：S＝ t2－t＋ ，S的最小值为2

Answer 3

哈哈 这种公式早就忘了 还请高人来解答 啊

Answer 4

解：∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，
∴PA=1，PE=1-t，QE=2，
由勾股定理，得PQ= √﹙QE²+PE²﹚ = √[(1-t)²+4 ]，
∵△PEQ≌△NFM，
∴MN=PQ=√[ (1-t)²+4 ]，
又∵PQ⊥MN，
∴S=½PQ•MN=½ [(1-t)²+4]=½ t²-t+5/ 2 ，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S最小值=2．
综上：S=½t²-t+5/2 ，S的最小值为2．