Question

已知椭圆x∧2/8+y∧2/2=1经过M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）

1.当m＝3时，判断直线l与椭圆的位置关系
2.当m＝3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值
3当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

Answer 1

1、设椭圆的长轴为a,则短轴为a/2,焦点在x轴上
椭圆方程可表示为 x^2/a^2+y^2/(a/2)^2=1
把（2，1）代入椭圆方程
4/a^2+1/(a^2/4)=1
4/a^2+4/a^2=1
a^2=8,a^2/4=2
所以椭圆方程为 x^2/8+y^2/2=1

2、根据两点式，OM所在直线方程为
(y-0)/(1-0)=(x-0)/(2-0)
化简得 y=x/2
直线l平行于OM，所以l的斜率为1/2
又因为当x=0,y=m
所以l的解析式为 y=x/2+m
把 y=x/2+m 代入椭圆方程
x^2/8+(x/2+m)^2/2=1
化简得 2x^2-4mx+m^2-8=0
l与椭圆有两个不同的交点，判别式△>0
△=（-4m）^2-4*2*(m^2-8)
=16m^2-8m^2+64
=64-8m^2>0
解得 -2√2<m<2√2

Answer 2

求得直线OM方程：y=1/2x，因为直线l与直线OM平行，所以直线l的斜率为1/2，设直线y=kx+b.因为m=3,直线l在y轴上的截距为3,所以b=3.所以直线l的方程：y=1/2x+3. 将y=1/2x+3代入椭圆方程中，得x∧2+6x+14=0，△＜0，无解，所以直线l与椭圆相离