Question

设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4

（1）当a=3且y=f(x)过原点是，求f(x)的解析式
（2）若f(x)在(-∞，+∞)无极值点，求a的取值范围。

Answer 1

1)f'(x)=3x^2+2bx+c
y(0)=d=0
f'(x)-9x=3x^2+(2b-9)x+c=0, 根为1,4
1*4=c/3 ==> c=12
1+4=(9-2b)/3 ==> b=-3
f(x)=x^3-3x^2+12x
2)f'(x)=ax^2+2bx+c=0
f'(x)-9x=ax^2+(2b-9)x+c=0,
1*4=c/a ==> c=4a
1+4=(9-2b)/a ==> b=(9-5a)/2
因a>0, 需有delta=4(b^2-ac)=(9-5a)^2-16a^2=9(a^2-10a+9)=9(a-1)(a-9)<=0
1=<a<=9

Answer 2

WE4E

Answer 3

导函数f'(x)=0有解只是函数f(x)有极值的必要条件，不是充分条件。
假设f'(x)=0的解是x1，还要看x<x1和x>x1时函数f(x)的单调性是否有改变，即f'(x)是否符号有否改变。
我们知道，Δ=4b²-4ac≤0时，f'(x)≥0,即f'(x)不会小于0，函数f(x)没有极值。