Question

初中数学题在线解答

已知△ABC，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE，

使AB=AD，AC=AE且∠BAD=∠EAC，BE与CD交于点P.

(1)求CD=BE

(2)当∠DAB=60°时，求证PD=PA+PB

(3)当∠BAD=90°时，若∠BAP=30°，过点P作PH⊥DB于H，连接AH,若DH=6，求△ADH面积
前2问已做完，问第3问如何作解

Answer 1

(3)解:∵⊿ADC≌⊿ABE(已证).

∴CD=BE;∠ADC=∠ABE.

则∠DPE=∠DBP+∠BDP=∠DBA+∠BDA=90°;

CD=BE,则A到CD,BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)

∴∠DPA=∠EPA=45°.故∠ABP=∠ADP=180°-∠DAB-∠BAP-∠DPA=15°.

∴∠PDH=∠ADH-∠ADP=30°,则PD=2PH,DH=√(PD²-PH²)=√3PH.

即6=√3PH,PH=2√3, PD=2PH=4√3.

∵∠DHP=∠DPB=90°;∠PDH=∠BDP.

∴⊿PDH∽⊿BDP,DH/DP=PD/BD,6/(4√3)=(4√3)/BD,BD=8.

则点A到BD的距离=BD/2=4.得S⊿ADH=DH*8/2=6*4/2=12.

Answer 2

(1)证明：AB=AD，AC=AE且∠BAD=∠EAC，∠BAD+∠BAC=∠EAC+∠BAC
△ACD≌△AEB 故：CD=BE
(2)证明：△ACD≌△AEB ∠ADC=∠ABE 当∠DAB=60°时，∠DPB=∠DAB=60°
∠DPE=120°∠APE=60°在PE上点Q使PQ=PA，故：∠PAQ=60°
△APD≌△AQB PD=QB=PQ+PB=PA+PB
(3)当∠BAD=90°时，若∠BAP=30°，过点P作PH⊥DB于H，连接AH,若DH=6，求△ADH面积

追问

第3问？

Answer 3

(3)这个题目可以用四点共圆的方法来解﹐变得非常简单
由(1)(2)我们可得△ACD与△AEB全等﹐所以∠ADP=∠ABP
则点A/D/B/P在同一圆上
那么弧BP对应的角∠BDP与∠BAP相等﹐得∠BDP=30°
同样﹐弧BD对应的角∠BAD与∠BPD相等﹐得∠BPD=90°
那么在△BPD中﹐∠BDP=30°﹐∠BPD=90°﹐DH=6
由三角函数得PH=DH*tan30°=2√3
由射影定理得﹐PH^2=DH*HB HB= PH^2/ DH=2
所以DB= DH+HB=8
因△ABD是等腰直角三角形﹐那么AD=4√2
则根据正弦求面积﹐△ADH的面积=(AD*HD*sin∠BDA)/2=(4√2*6*√2/2)/2=12

Answer 4

(3)解:∵⊿ADC≌⊿ABE(已证).
∴CD=BE;∠ADC=∠ABE.
则∠DPE=∠DBP+∠BDP=∠DBA+∠BDA=90°;
CD=BE,则A到CD,BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴∠DPA=∠EPA=45°.故∠ABP=∠ADP=180°-∠DAB-∠BAP-∠DPA=15°.
∴∠PDH=∠ADH-∠ADP=30°,则PD=2PH,DH=√(PD²-PH²)=√3PH.
即6=√3PH,PH=2√3, PD=2PH=4√3.
∵∠DHP=∠DPB=90°;∠PDH=∠BDP.
∴⊿PDH∽⊿BDP,DH/DP=PD/BD,6/(4√3)=(4√3)/BD,BD=8.
则点A到BD的距离=BD/2=4.得S⊿ADH=DH*8/2=6*4/2=12.

Answer 5

:∵⊿ADC≌⊿ABE(已证).
∴CD=BE;∠ADC=∠ABE.
则∠DPE=∠DBP+∠BDP=∠DBA+∠BDA=90°;
CD=BE,则A到CD,BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴∠DPA=∠EPA=45°.故∠ABP=∠ADP=180°-∠DAB-∠BAP-∠DPA=15°.
∴∠PDH=∠ADH-∠ADP=30°,则PD=2PH,DH=√(PD²-PH²)=√3PH.
即6=√3PH,PH=2√3, PD=2PH=4√3.
∵∠DHP=∠DPB=90°;∠PDH=∠BDP.
∴⊿PDH∽⊿BDP,DH/DP=PD/BD,6/(4√3)=(4√3)/BD,BD=8.
则点A到BD的距离=BD/2=4.得S⊿ADH=DH*8/2=6*4/2=12.

Answer 6

3.∠DAC=150`,∠ADC=∠ACD=15`,∠BDC=30`,∠DBP=60`,△DBP是直角△，∠BDP=30`DH=6所以DP=4倍根号3，△DPB也是直角△，∠BDP=30，所以DB=8,再看△ABD，DA=4倍根号2，做AZ垂直与DB,AZ=4,已知DH=6，面积12

追问

∠DAC如何证明150°，△BDP怎么证明是Rt△啊，求解

追答

∠DAC=∠DAB(90`)+∠BAC(60`), △BDP中∠BDC(30`)=∠BDA(45`)-∠CDA(15),∠DBP=∠DBA(45`)+∠ABE(15`)

追问

∠BAC如何证明为60°，∠CDA=∠ABE=15°是怎么证的啊

追答

题目已知∠BAP=30°，整个图形是以AP对称的，那∠BAC=60`

∠DAC（150`）=∠DAB(90`)+∠BAC(60`)这个明白吧？ △DAC是等腰△啊！△内角和=180`∠CDA=∠ACD=15°,∠ABE同理。
把∠弄懂后第三问就是考△DHP与△DBP是共∠BDP(30`)的直角△，用DH求DP,用DP求DB,用DB求高 ，有高有底求面积

追问

△DAC是等腰△是怎么证明的，为什么图形是以AP对称的呢

追答

看错了...看成AB=AD=AC=AE了..囧
不过还是能解的:
∠DAB=∠CAE=90度,则∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE;
又AD=AB,AC=AE,故△DAC≌△BAE(),得DC=BE.
∴点A到DC、BE的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
所以,∠AFD=∠AFE.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
CD垂直与BE(不用说了吧),∠AFD=∠AFE=45度，
又已知,∠BAP=30度，所以∠DAP=120`,∠ADP=15`然后 ∠BDP=30`再然后就是和上面的一样啦！
考△DHP与△DBP是共∠BDP(30`)的直角△，用DH求DP,用DP求DB,用DB求高 ，有高有底求面积，还是12