Question

已知△abc中，B=45°,AC=4，则△abc面积的最大值为_____(请给解题过程)

Answer 1

AC上高最长是面积最大
作三角形外接内，可以发现，AC上的高最长时，平分AC
所以三角形是以45为顶角的等腰三角形
设腰长为x
作腰上的高h=x/根号2
(x-x/根号2)^2+x^2/2=16
(1-1/根号2)^2x^2+x^2/2=16
(1+1/2-2/根号2+1/2)x^2=16
(2-根号2)x^2=16
x=根号(2-根号2)/4
h=根号(2-根号2)/(4根号2)
面积=1/2*根号(2-根号2)/4*根号(2-根号2)/(4根号2)=(2-根号2)/(32根号2)=(根号2-1)/16

Answer 2

取AB=a,BC=b
cosB=(a²+b²-AC²)/(2ab)=(a²+b²-16)/(2ab)
√2/2=(a²+b²-16)/(2ab)
√2ab=a²+b²-16≥2ab-16
(2-√2)ab≤16
ab≤16/(2-√2)=8(2+√2)
S△=1/2absinB=1/2*√2/2ab=√2/4*ab≤2√2*(2+√2)=4√2+4 (a=b时取得)

Answer 3

B=45°,AC=4
当∠C=90°的时候面积最大，是直角等腰三角形，ACBC
△abc面积的最大值=AC*BC/2=4*4/2=8

Answer 4

解：由余弦定理得：cosB=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2AB*BC),则cos45°=(AB^2+BC^2-16)/(2AB*BC)=√2/2,得AB^2+BC^2=√2AB*BC+16,又由均值不等式得：AB^2+BC^2 ≥2AB*BC,故16 ≥(2-√2)AB*BC,AB*BC ≤16+8√2，S△abc ≤0.5sin45*AB*BC=4√2+4.故其最大值是4√2+4.

Answer 5

好了做完了，使用了三角函数公式，希望采纳。