Question

过抛物线y2=4x的焦点,作直线与抛物线相交于两点p和Q,那么线段pQ中点的轨迹方程?（请写下详细过程,谢谢)

Answer 1

你好，解答过程大致如下；附加一图让你更清晰：

抛物线y2=4x的焦点  F(1,0)   记：两点p(x1,y1)和Q(x2,y2)    线段pQ中点M(x,y)

由中点坐标公式  x=(x1+x2)/2    y=(y1+y2)有： (y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)    

    x1-x2=K(y1-y2)  K为斜率  可得：y=2K；

又x1+x2=K(y1+y2)+2     所以2x=y/2*2y+2

y^2=2x+2       因此：线段pQ中点的轨迹方程   为y^2=2x+2     

但愿对你有帮助，祝你学习进步！

Answer 2

抛物线y2=4x的焦点 F(1,0)
设抛物线y2=4x的直线方程为
x=my+1
两点p(x1,y1)和Q(x2,y2) 线段pQ中点M(x,y)
由中点坐标公式 x=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)
p和Q在抛物线上，则 p和Q在直线上，则
y1^2=4x1 x1=my1+1
y2^2=4x2 相减得 x2=my2+1 相减得
(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) x1-x2=m(y1-y2)
2y*(y1-y2)=4(x1-x2)
所以2y=4m y=2m
又x1+x2=m(y1+y2)+2
所以2x=y/2*2y+2
y^2=2x+2
线段pQ中点的轨迹方程 为y^2=2x+2

Answer 3

参数法
解:
∵P, Q两点均在抛物线y²=4x上
∴可设其坐标为
P(p², 2p), Q(q², 2q). (p≠q)
又三点P, F(1,0), Q共线.
∴由三点共线条件可得: pq=-1.
设线段PQ的中点为M(x,y),
由线段中点坐标公式可得:
2x=p²+q²
2y=2p+2q
∴y=p+q.
2x=p²+q²
=(p+q)²-2pq
=y²+2, (∵pq=-1)
∴轨迹方程为:
y²=2(x-1)