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∵〈BDC=90°,(半圆上圆周角是直角),
∴根据勾股定理,BD=√(BC^2-CD^2)=√5,
∵D是AC弧中点,
∴AD=CD=√5/2,
∴〈DBC=〈ABD,
∵〈DAC=〈DBC,(同弧圆周角相等),
∴〈DAE=〈DBC=〈ABD,
∵〈ADE=〈BDA,(公用角),
∴△ADE∽BDA,
∴AD/BD=DE/AD,
AD^2=BD*DE,
DE=(√5/2)^2/√5=√5/4,
BE=BD-DE=3√5/4,
根据勾股定理,
CE^2=DE^2+CD^2,
CE=5/4,
∵〈ABD=〈ACD,(同弧圆周角相等),
〈AEB=〈DEC,(对顶角相等),
∴△ABE∽△DCE,
CE/BE=CD/AB,
(5/4)/(3√5/4)=(√5/2)/AB,
∴AB=3/2。
∴根据勾股定理,BD=√(BC^2-CD^2)=√5,
∵D是AC弧中点,
∴AD=CD=√5/2,
∴〈DBC=〈ABD,
∵〈DAC=〈DBC,(同弧圆周角相等),
∴〈DAE=〈DBC=〈ABD,
∵〈ADE=〈BDA,(公用角),
∴△ADE∽BDA,
∴AD/BD=DE/AD,
AD^2=BD*DE,
DE=(√5/2)^2/√5=√5/4,
BE=BD-DE=3√5/4,
根据勾股定理,
CE^2=DE^2+CD^2,
CE=5/4,
∵〈ABD=〈ACD,(同弧圆周角相等),
〈AEB=〈DEC,(对顶角相等),
∴△ABE∽△DCE,
CE/BE=CD/AB,
(5/4)/(3√5/4)=(√5/2)/AB,
∴AB=3/2。
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解:(1)∵BC为半圆的直径,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵∠ABD=∠CBD,
∴△ABE∽△DBC;
(2)∵△ABE∽△DBC,
∴∠AEB=∠DCB,
∵∠BDC=90°,BC=5,CD=5,
∴BD²=BC²-CD²=根号5
∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD/BC=(根号5)/5
(3)∵D为AC的中点,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ADB=∠ACD,
∴∠DCE=∠DBC,
∵∠CDE=∠DCB,
∴△DCE∽△DBC,
∴DC/DB=DE/DC
∴DE=DC²/DB=根号5/2
BE=(3根号5)/2
∴AB=BE•sin∠AEB=(3根号5)/4 •(2根号5)/5=1.5
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵∠ABD=∠CBD,
∴△ABE∽△DBC;
(2)∵△ABE∽△DBC,
∴∠AEB=∠DCB,
∵∠BDC=90°,BC=5,CD=5,
∴BD²=BC²-CD²=根号5
∴sin∠AEB=sin∠DCB=BD/BC=(根号5)/5
(3)∵D为AC的中点,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ADB=∠ACD,
∴∠DCE=∠DBC,
∵∠CDE=∠DCB,
∴△DCE∽△DBC,
∴DC/DB=DE/DC
∴DE=DC²/DB=根号5/2
BE=(3根号5)/2
∴AB=BE•sin∠AEB=(3根号5)/4 •(2根号5)/5=1.5
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